백준 1010 다리 놓기 Kotlin (조합,dp)

문제 출처 : https://www.acmicpc.net/problem/1010

1010번: 다리 놓기

문제

재원이는 한 도시의 시장이 되었다. 이 도시에는 도시를 동쪽과 서쪽으로 나누는 큰 일직선 모양의 강이 흐르고 있다. 하지만 재원이는 다리가 없어서 시민들이 강을 건너는데 큰 불편을 겪고 있음을 알고 다리를 짓기로 결심하였다. 강 주변에서 다리를 짓기에 적합한 곳을 사이트라고 한다. 재원이는 강 주변을 면밀히 조사해 본 결과 강의 서쪽에는 N개의 사이트가 있고 동쪽에는 M개의 사이트가 있다는 것을 알았다. (N ≤ M)

재원이는 서쪽의 사이트와 동쪽의 사이트를 다리로 연결하려고 한다. (이때 한 사이트에는 최대 한 개의 다리만 연결될 수 있다.) 재원이는 다리를 최대한 많이 지으려고 하기 때문에 서쪽의 사이트 개수만큼 (N개) 다리를 지으려고 한다. 다리끼리는 서로 겹쳐질 수 없다고 할 때 다리를 지을 수 있는 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력의 첫 줄에는 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 그 다음 줄부터 각각의 테스트케이스에 대해 강의 서쪽과 동쪽에 있는 사이트의 개수 정수 N, M (0 < N ≤ M < 30)이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해 주어진 조건하에 다리를 지을 수 있는 경우의 수를 출력한다.

알고리즘 분류

• 수학
• 다이나믹 프로그래밍
• 조합론

풀이

조합 문제이지만, 문제 풀이의 키포인트는 수학과 dp이다.

분류에 수학 태그가 붙은 문제는, 문제에 필요한 수학 공식을 모른다면 난이도가 겁나 상승한다.

그나마 이 문제는 몇 개 조합을 구해보면 공식을 찾을 수 있긴 하다.

 

이 문제를 팩토리얼이나 조합 알고리즘 (완전탐색,dfs)로 풀려면 메모리 초과, Long 범위 초과, 시간 초과 등의 문제가 있는 걸 알 것이다.

따라서 메모이제이션 혹은 어떠한 규칙이 필요하단 것을 유추할 수 있다.

 

우선 이 문제가 조합인 이유는,

동쪽의 연결된 사이트가 4,1,6이라 할 때, 조합에서는 순서를 고려하지 않기 때문에, 1,4,6과 4,1,6을 같다고 본다.

따라서 서쪽의 사이트가 3개이고 동쪽의 사이트가 5개일 때 5C3이 답이 되는 것이다.

 

문제에서 사용한 공식은 다음과 같다.

nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr

nC1 = n

nCn = 1

위의 공식들을 이용하면 2차원 dp를 쉽게 구할 수 있다.

dp를 만들어놓고 입력으로 주어지는 값들에 대한 답을 출력하자!

 

조합(완탐, dfs)문제 풀고 싶어서 푼 건데 수학+dp네...

조합 문제 추천 해주시면 감사하겠습니다 :)

코드

fun main() = with(System.out.bufferedWriter()){
    val br = System.`in`.bufferedReader()
    var t = br.readLine().toInt()
    val dp = Array(31){LongArray(31)}
    for(i in 1 .. 30){
        dp[i][1]=i.toLong()
        for(j in 2 until i){
            dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]
        }
        dp[i][i]=1
    }
    while(t-->0){
        val (r,n) = br.readLine().split(' ').map{it.toInt()}
        write("${dp[n][r]}\n")
    }

    close()
}